Исследователи из Университета Нового Южного Уэльса в Австралии заявили о решении задачи, которая ставила в тупик величайшие умы на протяжении почти двух столетий. Речь о нахождении точных аналитических решений для полиномиальных уравнений высших степеней (начиная с пятой и выше).

На протяжении веков математики успешно работали с полиномиальными уравнениями низших степеней. Так еще в XVI веке были найдены формулы для точного решения уравнений третьей и четвертой степени, использующие радикалы (корни). Однако для уравнений пятой степени и выше попытки найти аналогичные общие формулы, выраженные через радикалы, оставались безрезультатными.

В XIX веке выдающиеся математики Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель доказали, что таких общих решений в радикалах для уравнений степени пять и выше не существует. Это не означало, что эти уравнения не имели решений вовсе (они всегда имели решения в комплексных числах), но эти решения нельзя было выразить с помощью конечной комбинации основных арифметических операций и взятия корней из коэффициентов уравнения. С тех пор для решения таких уравнений использовались лишь приближенные численные методы.

Однако австралийские исследователи, математики Норман Уайлдбергер и Дин Рубин, предложили принципиально новый и оригинальный подход к этой задаче. Они обратили внимание на каталонские числа – удивительную последовательность целых чисел, которая естественным образом возникает в различных задачах комбинаторики, связанных с подсчетом числа способов разбиения геометрических фигур или структур. Например, в задаче о числе способов разбиения выпуклого многоугольника на треугольники непересекающимися диагоналями.

Уайлдбергер и Рубин сумели установить глубокую связь между каталонскими числами, задачами разбиения многоугольников и структурой решений полиномиальных уравнений любой степени. Расширив применение каталонских чисел за рамки их традиционного использования, они разработали новый алгоритм, который позволяет найти точные аналитические решения полиномиальных уравнений любой степени, выражая их не через традиционные радикалы, а через совершенно новые математические конструкции, основанные на свойствах каталонских чисел.

The post Решена 200-летняя математическая задача appeared first on Русская семерка.